1次元の波動方程式を拡張することで、3次元波動方程式を推定する。時間依存の平面波表現で得られた波動関数は求めようとしている微分方程式の解の一つであるため、同波動関数について次の偏微分を計算する。

2.55

上記の空間に関する三つの偏微分を足し合わせると、α2+β2+γ2=1であるので

2.59

となる。この式と先述した時間に関する偏微分導関数を組み合わせると、

2.60

となり、3次元微分波動方程式を得ることができる。

ここで、ラプラス演算子

2.61

を使うと、3次元微分波動方程式は簡潔に表現できて

2.62

となる。

下式は時間依存の平面波表現で得られた波動関数であるので、上式の解である。

2.63

また、以下の2式は共に微分方程式の平面波解である

2.64

2.65

関数fgは2階微分可能でなければならない。このような解の線形結合はやはり解であり、

2.66

と書くことが出来る。ここで、C1C2は定数である。

平面波の記述には直交座標系が適している。しかし、様々な物理的状況では、他の座標系(極座標系や円筒座標系など)がもつ対称性を利用すべき場合がある。

 

参考文献

E. Hecht 著、尾崎義治・朝倉利光 訳「ヘクト 光学 I 」第9版 丸善(2013)