5・3・1 場の量子化と光子数状態

式(5・5)式で1個のモードだけを取り上げて,電磁場の時間変化を表す関数b,b*

式5・10

の関係によって実変数p,qに変換すると,モードを定めた空間内の電磁場のエネルギーは,

式5・11

で表される.これは質量1,運動量p,座標qを持つ粒子の調和振動子のエネルギーと同じ形をしているので,これと全く同じ数学的手続きにより量子化ができる.この場合,p,qは式60iiの交換関係を満たす演算子式60iiiとなる.また,b,b*の複素振幅a,a*も式(5・10)により[式60iv]=1の交換関係を満たす演算子式60ivとなり,式(5・11)はエネルギー演算子を表すハミルトニアン

式5・12

となる.ただし,式60v式60viのエルミート共役を表す.式60viiの固有値すなわち許されるエネルギー値は

式5・13

で与えられる.その固有状態を式60viiiで表す.式(5・13)はエネルギーが式60ixを単位とする不連続な値しか取り得ないことを表し,この状態をエネルギー式2iの粒子がn個ある状態と考えると都合がよい.これが光子の概念である.nは演算子式60xiの固有値でもあるから,式60xiを光子数演算子という.式60viiiを光子数状態またはフォック(Fock)状態という.式(5・13)はn=0すなわち光子がなくても式60xiiのエネルギーが存在することを表す.これをゼロ点エネルギーといい,光のゆらぎの源にもなる.

演算子式60iv

式5・14

の性質をもつ.すなわち光の状態は式60viにより光子数が1個少ない状態へ,式60vにより光子数が1個多い状態へ変わる.そこで式60viを消滅演算子,式60vを生成演算子と呼ぶ.

光子数nと光の位相φ(厳密にはn>>1でないと定義できないが)は互いに共役な物理量であり,不確定関係

式5・15

が成り立つ.ΔnとΔφはそれぞれnとφのゆらぎあるいは観測に際しての不確定さを表す.光子数状態式60viiiではΔn=0であるからΔφ=∞となり,光の位相は全くわからない.

複数のモードが共存する場合は,電磁場のエネルギー値は

式5・16

で与えられ,光子数状態は

式5・17

で表される. 

5・3・2 光のコヒーレント状態

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