単色・平面入射波(の電界)を、
(式１)
または、
(式２)
とする。ここで、E0iは時間に依存しない。反射波・透過波を
(式３)
(式４)
とする。ここで、εr・εtはEiに対する位相定数である。平面境界で接する入射媒質・透過媒質の屈折率をni・ntとし、両者ともに無損失とする(図１)。
図１ 2種類の均質・等方・無損失な誘電媒質の境界に平面波が入射する。
境界条件から、境界前後において電界の接線成分は連続でなければならない。即ち、
(式５)
となり、式２-４を代入すると、
(式６)
となる。ここで、unは、境界面に対する法線単位ベクトルである。式６は、任意の瞬間に境界上の任意点で成立しなければならない。Ei・Er・Etは、境界面上においてtとrに関して同一の依存性をもつ。従って、
(式７)
式７が任意の時刻に成立するためには、
(式８)
となる必要がある。このとき式７は、
(式９)
となる。式８の第1 項・第2 項から、
(式１０)
式９から分かるように、r の終点が境界面上を動くとき、r とki– krの内積は一定となり、ki– krは境界面の法線ベクトルunに平行である。従って、
故に、
ki、krは、ki、krの絶対値である。入射波・反射波は同一媒質中を伝搬するためki= kr。従って、前記式から
を得る。式９の第1項・第3項から、
を得る。同様の議論により、ki– ktも境界面に垂直である。以上から、ki– krとki– ktはともに境界法線ベクトルunに平行であり従って、unとki・kr・ktは全て同一平面(入射面)上にある。前記議論と同様、kiとktの境界に平行な成分は等しいから、
(式１１)
両辺にc/ω(=c/ωi=c/ωt)を掛けると、
となり、スネルの法則を得る。