単色・平面入射波(の電界)を、

(式1)

または、

(式2)

とする。ここで、E0iは時間に依存しない。反射波・透過波を

Hecht Figure 4.13 and 4.14

(式3)

(式4)

とする。ここで、εr・εtはEiに対する位相定数である。平面境界で接する入射媒質・透過媒質の屈折率をni・ntとし、両者ともに無損失とする(図1)。

Figure 4.38

図1 2種類の均質・等方・無損失な誘電媒質の境界に平面波が入射する。

境界条件から、境界前後において電界の接線成分は連続でなければならない。即ち、

スクリーンショット 2014-12-24 18.25.31

(式5)

となり、式2-4を代入すると、

Figure 4.16

 (式6)

となる。ここで、unは、境界面に対する法線単位ベクトルである。式6は、任意の瞬間に境界上の任意点で成立しなければならない。EiErEtは、境界面上においてtとrに関して同一の依存性をもつ。従って、

Formula 4.17

(式7)

式7が任意の時刻に成立するためには、

Formula 4.18

(式8)

となる必要がある。このとき式7は、

Formula 4.19

(式9)

となる。式8の第1 項・第2 項から、

Figure 4.20

(式10)

式9から分かるように、r の終点が境界面上を動くとき、r とki– krの内積は一定となり、ki– krは境界面の法線ベクトルunに平行である。従って、

Formula番号なし

故に、

Formula 番号なし

ki、krは、kikrの絶対値である。入射波・反射波は同一媒質中を伝搬するためki= kr。従って、前記式から

Formula 番号なし

を得る。式9の第1項・第3項から、

Formula番号なし

を得る。同様の議論により、ki– ktも境界面に垂直である。以上から、ki– krとki– ktはともに境界法線ベクトルunに平行であり従って、unとki・kr・ktは全て同一平面(入射面)上にある。前記議論と同様、kiとktの境界に平行な成分は等しいから、

Formula 4.22

(式11)

両辺にc/ω(=c/ωi=c/ωt)を掛けると、

Formula 番号なし(5)

となり、スネルの法則を得る。

参考文献

E. Hecht 著、尾崎義治・朝倉利光 訳「ヘクト 光学 I 」第9版 丸善(2013)