矩形パルス f(x) を取り上げる。
Formula 計算式なし(1)
とする(図1)。
Figure 7.34

図1 矩形パルスとそのフーリエ変換

 

f(x)のフーリエ変換を求める。f(x)は偶関数であるから、正弦変換B(k)は0 となる。余弦変換A(k)は、
Formula 計算式なし(2)
sinc(x) = (sin x)/x を使用すると、

Formula 7.58

(式1)

となる。フーリエ積分を用いてf(x)を積分表記すると、
Formula 7.59

(式2)

である。

余弦関数形状の連波

余弦関数形状連波 E(x) のフーリエ変換を求める。
Formula 計算式なし(3)
である(図2a)。
Figure 7.35

図2 余弦波状連波とそのフーリエ変換

E(x)は偶関数であるから、正弦変換B(k) = 0 である。余弦変換 A(k) は、
Formula 7.60

(式3)

となる(図2b)。
A(k) は、k = ±kpで最大値を取りその周辺で急激に減少する。連波の中に正弦波形がたくさんあれば(つまりλp<< L)kpL >> 2πであり、
sinc kpL<<1 となる。したがってk = ±kpにピークをもつ二つの波形に重なりはなく、k ≥ 0の領域のみに注目すれば、フーリエ変換は、

Formula 7.61

(式4)

となる(図3c)。

ここで扱ったパルス(有限長の連波)を波束または波群という。主要な空間周波数成分は k = kp近傍に集中する。
連波の長さが大きくなるほど空間周波数スペクトルはkpに集中し、極限では一本のスパイク状になる。A(k)は、k ~ k + dk 範囲の
波動エネルギーに対応している。図3c から分かるように、エネルギーの大部分は(概略ではあるが)kp– π/L からkp+ π/L の周波数範囲に
含まれる。以上は空間波形を扱ったが、時間波形についても同様である。時間領域の波束は、

Formula 計算式なし(4)

であり、フーリエ変換すると、

Formula 7.62

(式5)

となる。

周波数帯域幅

余弦関数状連波の場合、継続空間長・継続時間はΔx = 2L・Δt = 2T であり、周波数スペクトルの幅(周波数帯域幅)はΔk = 2π/L・Δω = 2π/T である。したがってΔk Δx= 4π・Δω Δt = 4πである。継続長と周波数帯域幅の積は、連波の波形に依存して少々変動する。周波数スペクトルのピーク値の1/2 または1/e となる周波数幅で帯域幅を定義すると、

Formula 7.63

(式6)

ここで、Δν = ω/(2π)である。すなわち、周波数帯域幅はパルス幅の逆数程度である。

参考文献

E. Hecht 著、尾崎義治・朝倉利光 訳「ヘクト 光学 I 」第9版 丸善(2013)