光を光子の流れと考え、その量子1 個が(例えば、空気-ガラス)境界に角度θiで入射しているとする。光子は原子に吸収され、続いてうり二つの光子が角度θtで透過していく。

光子の運動量ベクトルp は、

Formula 番号なし(1)

である(放射圧と運動量を参照)。ここで、k は伝搬ベクトルである。入射運動量と透過運動量は各々、pi= (h/2π)ki・pt= (h/2π)ktである。

境界に平行な運動量成分が連続とすると、

Formula 番号なし(2)

である。

古典的には物質粒子の運動量は速度に依存している。nt> niならpt> piとなり、光の粒子は速度を増すことになる。しかし、光ビームの速度は減速する。

子力学では光子の速度は常にcであり、運動量は速度でなく波長に依存する。

したがって、

Formula 番号なし(3)

であり、両辺にc/νを掛けるとスネルの法則を得る。

参考文献

E. Hecht 著、尾崎義治・朝倉利光 訳「ヘクト 光学 I 」第9版 丸善(2013)