下記に加え、フレネルの公式もご覧下さい。
振幅および放射束密度の反射率・透過率を考察する。また、反射・屈折に伴う位相変化を考える。
振幅係数
垂直入射に近い(θi≈0)ときtanθi≈ sin θiだから、振幅反射係数r//・r⊥と振幅透過係数t//・t⊥は、フレネルの公式の式２１から、
正弦関数を展開しスネルの法則を用いると、
(式１)
となる。θi→ 0 の極限では、cos θi→ 1・cos θr→ 1 であり、
(式２)
となる。
nt> niの場合に対して、フレネルの公式の式２０-２３とスネルの法則を使用してθi の全範囲の振幅係数を求めると図１のようになる。
図１ 振幅反射係数・振幅透過係数 対 入射角
空気―ガラス境界面(nti = 1.5)における外部反射(nt > ni)
nt> niのときはスネルの法則からθi> θtであり、r⊥は常に負である。他方 r//は、θi=0 の正の値から徐々に減少し、θi+ θt=90ºにおいて0 になる。このときの入射角をθpで表し、偏光角とよぶ。偏光角前後で反射光の位相は180°変化する。位相が逆転するとき反射光の振幅はゼロであるので、偏光角前後で電界が急変するようなことはない。θi > θpでr//は負であり、その絶対値は徐々に増加して、θi = 90ºでr//= -1.0 になる。
垂直入射では、フレネルの公式の式１３・１９から、
(式３)
フレネルの公式の式２０・２３から、すべてのqiに対して、
(式４)
となることがわかる。ただし、
(式５)
は垂直入射のときのみ成り立つ。
ここまでの議論は外部反射(nt> ni)に限定してきた。次に、内部反射(ni> nt)を取り上げる。このときθt> θiであり、r⊥は常に正となる。ni> ntのとき、θiに対する振幅反射係数は図２で示される。r⊥は、θi=0 の初期値から増加して、臨界角θcにおいて+1 に達する。θcは、θt=π/2 となる入射角である。r//は、θi=0 での負の値から増加して、θi=θ’pで0 となり、θi=θcで+1 に達する。θpとθ’pは、互いに90ºに対する補数となる。
図２ 振幅反射係数 対 入射角
空気―ガラス境界面(nti = 1/1.5)における内部反射(nt < ni)
位相変化
nt> niの場合はθi> θtとなり、式(t)からr⊥< 0 が常に成立する。即ち、入射側媒質の屈折率が透過側より小さければ、入射面に垂直な電界成分の位相は反射によってπラジアン変化する。t⊥とt//は常に正であり、位相変化Δϕ = 0 である。ni> ntの場合、θi<θcである限り、入射面に垂直な電界成分の反射による位相変化はなくΔϕ ⊥= 0 である。[Ei]//と[Er]//、[Et]//の位相関係については、y 成分が平行であれば同位相、反平行であればπラジアンの位相ずれとする。平行成分の振幅反射係数は、
で与えられる(フレネルの公式の式１８)。上式からわかるように、条件
が成立するときに、r//は正である(従って、Δϕ //= 0)。スネルの法則を使って前記条件を書き換えると、
または、
となる。これは、
の場合は ni< ntを意味し、逆に
の場合はni> ntを意味する。つまり、ni< ntならばθi= 0 ∼ θpで [E0r]//と[E0i]//は同位相であり(Δϕ//= 0)、θiがθpより大きくなるとπラジアンの位相差が生じる。
θi= θpのときは [E0r]//=0 であるから、遷移に際しても電界が不連続に変化することはない。逆に内部反射(ni> nt)の場合、θi= 0 ∼ θp‘ でr//< 0 であり、Δϕ//= π を
意味する。また θi= θp‘ ∼ θcではr//> 0 でΔϕ//= 0 である。θiが θcを越えるとr//は複素数となり、Δϕ//は漸増してθi= 90｡ でπ となる。
以上の結果を図３にまとめる。
図３ 反射に伴う電界の位相変化
[E]//と[E]⊥は、入射面に平行な成分と垂直な成分を示す。外部反射(nt > ni)と内部反射(ni > nt)を示す。
反射率と透過率
屈折率が異なる二つの媒質の境界平面に、円形断面の光ビームが入射している(図４)。
図４ 入射ビームの反射と透過
ポインティングベクトル S は、
であり、その大きさは、光ビームの垂直断面単位面積当たりの伝搬パワーである。
放射束密度 I (W/cm2)は、
<S>tは、S = |S|の時間平均を示す(強度を参照)。入射・反射・透過、各々の放射束密度をIi・Ir・Itとする。また、入射・反射・透過ビームの断面積は各々、A cos θi・A cos θr・A cos θt・である。ここで、A は、境界面における入射ビームの照射面積である。入射・反射・透過ビームのパワーは各々、IiA cos θi・IrA cos θr・ItA cos θtとなる。反射率 R を入射パワーに対する反射パワーの比と定義すると
(式６)
同様に透過率 T を入射パワーに対する透過パワーの比と定義して、
(式７)
となる。Ir/Iiは (vrεrE0r2/2)/(viεiE0i2/2) に等しく、入射波と反射波は同一媒質中にあるため
vr= vi、εr= εiであるから、
(式８)
同様に μi= μt=μ0と仮定すると、
(式９)
を得る。ここで、μ0εt= 1/vt2とμ0vtεt=nt/c の関係を用いた。一般には、T はt2に等しくならない。この理由の一つは、入射波と透過波の伝搬速度が異なるためである。I ∝ v であるので、屈折率の比が必然的に入ってくる。いま一つの理由は、入射ビームと透過ビームの断面積が異なるためである。単位面積当たりのエネルギー流い影響し、余弦項の比として現れる。入射面に垂直な電界成分と平行な電界成分に分けて、反射率・透過率を考えると、
(式１０)
(式１１)
(式１２)
(式１３)
となり、
(式１４)
(式１５)
である。式１０-１４の数値例(nti = 1.5の場合)を図５に示す。
図５入射角に対する反射率・透過率
θi= 0 の場合は、
(式１６)
(式１７)
となる。