界内に仮想的な閉曲面Aを考える(図)。閉曲面Aを貫く電束ΦE

3.6

である。面積要素dSの向きは外向き法線方向である。閉曲面Aの内部領域で電界の吸い込み・湧き出しがなければ、曲面を貫く正味電束はゼロである。

真空中の点電荷qと点電荷を中心とする半径rの仮想球面Aを考える。球面A上で、電界Eは外向き法線方向でその大きさは一定値Eである。したがって、

3.6-2

となる。また、クーロンの法則から点電荷の電界は、

3.6-3

で与えられるので、

3.6-4

である。閉領域内に複数の点電荷がある場合は、

3.6-5

上式と、閉曲面Aを貫く電束ΦEの式から、ガウスの法則

3.6-6

を得る。また、連続電荷分布ρを考えると、ガウスの法則は

3.7

となる。

3.7

図 閉じた面Aを貫く磁界E

 

参考文献

E. Hecht 著、尾崎義治・朝倉利光 訳「ヘクト 光学 I 」第9版 丸善(2013)