下記に加え、フレネルの公式の解釈も合わせてご覧下さい。

二つの等方的媒質を分離する境界平面へ、単色平面波が入射している。電界E が入射面に垂直な場合と平行な場合に分けて考える。

ケース1:電界Eが入射面に垂直な場合(図1)

Figume 4.39

図1 入射波の電界Eが入射面に垂直な場合の反射波・透過波

電界E が入射面に垂直なとき、磁界B は入射面に平行となり、E = v B である(横波を参照)。従って、

Formula 4.23

(式1)

であり、また、

Formula 4.24

(式2)

である。ここで、ukは単位伝搬ベクトル(伝搬ベクトルと同じ向きの単位長ベクトル)である。境界に平行な電界成分の連続性から、

Formula 4.25

(式3)

である(境界における波動の式6・7を参照)。ただし、余弦項は相殺している。磁界B の向きは式1で決まる。
境界に平行な電界成分は連続となるが、垂直成分は連続とならない。積εE の垂直成分が連続となる。磁界に関しては、B の垂直成分とμ-1B の平行成分が連続となる。
μ-1B の平行成分の連続性から、

Formula 4.26

(式4)

を得る。ここで、Bi・Br・BtはBi・Br・Btの絶対値、μi= μr・μtは入射媒質・透過媒質の透磁率である。式1から、

Formula 4.27

(式5)

4.28

(式6)

4.29(式7)

とである。ここで、vi= vr、θirであるから、式4は、

Formula 4.30

 (式8)

となる。境界における波動の式2-4および、y = 0で余弦項が等しいことを利用すると、式7は、

Formula 4.31

(式9)

となる。式9と式3から、

Formula 4.32-4.33

(式10)

(式11)

を得る。記号⊥は、電界が入射面に垂直な場合を議論していることを示す。式(4.33)はフレネルの公式とよばれる。多くの誘電体ではμi≈ μt≈ μ0であることから、
式10・11は、簡単な次式となる。

4.34

(式12)

4,35

(式13)

ここで、rは振幅反射係数、tは振幅透過係数である。

ケース2:電界Eが入射面に平行な場合(図2)

 

Figure 4.40

図2 入射波の電界Eが入射面内にある場合の反射波・透過波

境界に平行な電界成分が、境界の両側で連続であることから、

Formula 4.36

(式14)

を得る。境界に平行なB/μ成分の連続性から、

Formula 4.38

(式15)

を得る。式14・15とmi = mr・qi =qrから、もう二つのフレネルの公式

(式16)

(式17)

を得る。媒質が”非磁性”の誘電体である場合は、

(式18)

(式19)

となる。スネルの法則を利用すると、表記はもっと簡単になり、

4.42

(式20)

4.43

(式21)

4.44

(式22)

4.45

(式23)

となる。

参考文献

E. Hecht 著、尾崎義治・朝倉利光 訳「ヘクト 光学 I 」第9版 丸善(2013)