パルスの繰り返し空間周期 λ = 1 cm、パルス幅 λ/a、a = 4 の場合を考える(図1)。(注. λは光波長ではなく、単にパルス波形の周期を示す。下記のkも光の波数でなく、一般的な空間角周波数を示す。)波形f(x)は偶関数であるからフーリエ級数は余弦級数のみである。

余弦級数係数Amの求め方はフーリエ級数で解説している。空間周波数と対応付ければ空間周波数スペクトルとなる(図1aグラフ)。
次に、パルス幅を変えずにパルス間隔を大きくする。λ = 2cm・4cm、a = 8・16としたときの波形 f(x) と空間周波数スペクトルを図1b・c に示す。図から明らかなように、空間周波数スペクトル全体形状は変化せず、各成分の周波数間隔が減少する。

 

Figure 7.32

図 1 パルス間隔を広げた極限が(孤立)矩形パルスとなる。間隔が広がるにしたがって、より多くの周波数項が付け加わる。

λ無限大の極限では、空間周波数スペクトルは連続となる。μ κ をあらためてκとおくと、空間周波数スペクトルはκ の連続関数となる。
空間周波数スペクトルが連続になるのに対応して、フーリエ級数はフーリエ積分で置き換えられて以下のようになる。

Formula 7.56

(式1)

ここで、

Formula 7.57(式2)

値A(k)・B(k)は、空間角周波数がk~k + dk の範囲の余弦成分振幅・正弦成分振幅と解釈できる。式2の2式はフーリエ余弦変換・フーリエ正弦変換である。

参考文献

E. Hecht 著、尾崎義治・朝倉利光 訳「ヘクト 光学 I 」第9版 丸善(2013)