分散とは、媒質の屈折率が周波数に依存する現象をさす。真空以外のあらゆる媒体物質は分散性である。
マクスウェル理論では実在物質を連続体として扱い、外部電界・磁界に対する応答を誘電率εと透磁率μで表す。比誘電率KEと比透磁率KMは定数である。したがって屈折率nもまた、現実と合わないが周波数に独立である。物質の原子レベルの性質を考えに入れる必要があり、その周波数依存の側面を検討しなければならない。等方性誘電媒質の振る舞いを表すには、膨大な数の原子の寄与を平均化する必要がある。
誘電体に外部電界を印加すると、内部の電荷分布に変化が生じる。その結果として発生する電気双極子モーメントが内部電界の一部を担う。もっと簡単にいえば、外部電界によって媒体内に正電荷負電荷の分離が生じる。各正負電荷対は電気双極子を形作り、付加的電界を発生する。単位体積当たりの電気双極子モーメントを電気分極Pとよぶ。多くの物質でPとEは比例関係にあり、次式が成立する。

Formula 3.62

(式1)

電荷の再分布や結果としての電気分極が生じるメカニズムを述べる。価電子の配置が構成原子間で平等でないために、極性分子とよばれる分子は永久電気双極子モーメントをもつ。直線状でない水分子は、典型的な例である。熱揺動のために、極性分子はランダムな方向を向いている。外部電界を印加すると、極性分子に整列傾向が表れ配向分極が生じる。非極性分子の場合、外部電界によって原子核に対して電子雲が偏移することで双極子モーメントが発生する(電子分極)。その他に、NaClのようなイオン性分子では、電界により両イオンが偏移することで分極がもたらされる(イオン分極・原子分極)。
配向分極の背後にある分子の回転運動は、ある周波数以上で印加電界に追従しなくなる。例えば、水の比誘電率は1010 Hzあたりまで80で一定であるが、それ以上で急激に減少する。
対照的に、電子分極のもとになる電子運動は光周波数(約5 x 1014 Hz)にも十分追従する。即ち、nの周波数依存性は、分極の発生機構に支配されるのである。原子レベルで何が生じているかを検討することで、n(ω)を導くことが可能となる。
原子の電子雲は、静電力によって平衡配置で原子核に束縛されている。原子内動作の詳細を検討することなく、摂動機械振動系からの類推によって、電子に働く復元力 F=-kEx を想定することができる。ここで、kE:弾性定数に相当する係数、x:電子変位である。瞬間的な摂動を受けた電子は、以後、共振角周波数ω=(kE/me)1/2 で振動する。meは電子の質量である。
光照射された媒質中の各原子は、電界E(t)を駆動源とする古典的強制振動子と考えることができる。正電荷静止原子核に負電荷殻がバネで束縛されている。角周波数ωの調和振動電界E(t)によって、電荷qeをもつ電子に働く力FE は、

 

Formula 3.64(式2)

ニュートンの第2法則にから次式が成立する。

 

Formula 3.64

 

(式3)

左辺第1項:印加電界による駆動力、左辺第2項:電子~原子核 間に働く復元力。

を仮定して、式3に代入すると、

Formula 3.65

(式4)

または、

Formula 3.66

 

(式5)

を得る。習慣にしたがって、qeを正と考えて変位に関する議論を進める。駆動力がないとき、振動子は共振角周波数w0で振動する。駆動力の周波数が共振周波数よりも小さいとき、E(t)とx(t)は同相となる。w >w0のとき、逆相となる。

電子分極Pは、

Formula 3.67

(式6)

 

ここで、N:単位体積当たりの(分極に関与する)電子数。

ゆえに、

 

Formula 3.68

 

(式7)

式1から、

Formula 3.69

(式8)

n2 =KE=e/e0を考慮すると、分散方程式として、次式を得る。

Formula 3.70

(式9)

w02w2>0のとき、屈折率n < 1 であり、w02w2<0のとき、n > 1となる。

     以上の解析の有用性を実験的に調べることができる。先ず、式9を変形して、次式を得る。

Formula 計算式なし(2)

ここで、C = 4p2c2e0me/Nqe2である。波長を変えて屈折率を測定し、l-2に対して(n2 – 1)-1をプロットすると直線になるはずである。クラウンガラス製プリズムを使用した実験データーは、直線によく一致する。傾きから-Cが決まり、y切片がCl0-2であることを利用して共振周波数が求まる。結果は、2.95 x 1015 Hzとなり、予想通り紫外域である。

 周波数を増加しつつ屈折率を測定すると、n > 1から n < 1への遷移は何回か見られる。共振周波数が複数存在することを示唆しており、n(w)を次式のように仮定することは合理的である。

Formula 3.71

(式10)

ここで、fj:各共振の重み係数または振動強度であり、 = 1。各項の解釈に差はあるが、量子力学的扱いをした場合も同様の結果を得る。その場合、fjは遷移確率を示す。

fjについては、古典的な扱いの範囲でも解釈を見直す必要があるfjが1以下になることは、導出仮定に反する。一つの考え方は、分子は多くの共振モードがあり、各モードは固有の共振周波数・共振強度をもつとすることである。

共振周波数において、屈折率が不連続になるのは減衰項を無視していることによる。熱としてエネルギーを失う過程が存在する。

 電子の振動速度に比例する減衰力を導入すると、分散方程式10は、次式となる。

Formula 3.72

(式11)

希薄媒質に対しては、式11が成立するが、高密度媒質の場合は修正が必要である。周辺原子との相互作用を考慮して局所電界を求めねばならない。詳細を略して、結果のみ示すと、

Formula 3.73

(式12)

以上は電子振動子を想定して議論をしてきたが、meをイオン質量に置き換えることで、イオン双極子にも適用できる。イオン質量は電子に比較して極めて大きいために、イオン分極の寄与が現れるのは、その共振周波数近傍のみである。

 当面は減衰項を無視して、

Formula 3.74

(式13)

として議論を進める。

w0j2 >> w 2のとき、式13の当該項はw 2を無視して定数になる。ww 0jに近づくにしたがって、nは漸増する。この現象を正常分散とよぶ。ガラスの共振周波数は紫外域にあり、そこでは不透明となる。共振周波数のごく近傍では減衰効果が主要となる。この領域を吸収帯とよぶ。吸収体では、dn/dwが負となるが、これを異常分散という

(下記図)。

Figure 3.41

図  屈折率の周波数依存性

分子中の原子の振動は、その質量が大きいため共振周波数は小さい。H2OやCO2は、赤外(原子分極)と紫外域(電子分極)に共振がある。したがって、ガラス類は可視光を挟む両側で屈折率の大きな変化がある。

 共振周波数より大きな駆動周波数のとき、n < 1 となる。このことは、u>cを意味するから、特殊相対論に矛盾するように思われる。この点は、7.6節で群速度を扱う際に議論する。

 可視域の屈折率n(ω)を決める主要機構は電子分極である。古典的には、入射波と同一周波数で振動する電子振動子を想像すればよい。共振周波数から適当に離れていれば、電子振動の振幅は小さく散逸吸収エネルギーも極めて少ない。共振周波数近くでは、振動振幅は増加し、界は電子に対して仕事をする。電子が得たエネルギーは熱的に散逸する。これが、吸収帯が現れる機構である。

参考文献

E. Hecht 著、尾崎義治・朝倉利光 訳「ヘクト 光学 I 」第9版 丸善(2013)