電流iが流れる直線状ワイヤと直交する面内で、ワイヤを中止とする半径rの仮想的円周を考える(図)。円周上の磁界Bは接線方向を向き、その大きさはB=μ0/ (2πr)であることが実験的に分かる。ワイヤを囲む仮想的円周をCとすると、

3.9-2

となる。Cを円周でなく、径方向微小線素と(半径の異なる)円周方向微小線素からなる折れ線としても上式は成立する。径方向線素の積分は、Bdlが直交するためゼロであり、円周方向積分和はμ0iとなる。以上から、複数のワイヤがあり、それらを囲む任意の閉曲線をCとするとき、

3.9-3
となることが分かる。これがアンペールの法則である。

断面内で電流が分布している場合、アンペールの法則は、

3.10

となる。ここで、Jは電流密度である。開曲面Aの縁が閉曲線Cである。μ0は自由空間の透磁率で、4π×10-7 Ns2C-2である。物質の透磁率μは、
3.10-2

で示される。ここで、KMは比透磁率である。

3.9

図 電流が流れている線を取り囲む磁界B

 

次に、移動する電荷である電流だけが磁界を発生するのではないことを示す。断面内で電流が分布している場合のアンペールの法則の右辺積分面Aをコンデンサの電極間に想定すると、(そこには電流は存在せず) 右辺はゼロになるが、磁界は存在するため矛盾する。この矛盾は以下のように解消する。電極間の電界Eは、

3.10-3

である。ここで、Qは電極上の電荷、Aは電極面積である。両辺を微分すると、dQ/dt=iを考慮して、

3.10-4

となり、左辺であらわされる量が実効的に電流であることを示唆している。これを変位電流密度とよび、

3.12

で定義する。以上から、アンペールの法則は、

3.13

と書き換えることができる。

 

参考文献

E. Hecht 著、尾崎義治・朝倉利光 訳「ヘクト 光学 I 」第9版 丸善(2013)