反射・屈折を含む光の伝搬は、フェルマーの原理を用いて考察することができる。 ユークリッドは、“任意点Sから任意点Pへ反射面を経由して進む光は、とりうる経路の中で最短の経路をたどる”と主張した(図１)。
図１ 光源SからPにある観測者の目に至る最短経路
図には複数の取りうる経路を描いてある。Sの像S’から光線が出ているものとしても、Pに至る距離は変わらない。複数の経路の中で、θi=θrとなる真っ直ぐな経路
S’BPが最短となるのは明らかである。この議論を発展させて、1657年にフェルマーは最小時間原理を提唱した。境界を挟む点Sから点Pに至る光線は明らかに最短距離ではない(図２)。
図２ フェルマーの原理の屈折への応用
これに対して、“光がたどる経路は、最小時間で通過できる経路である”と最小時間原理は述べる。最小時間原理を応用して屈折を考察する(図２)。xを変化させて、点Sから点Pまで移動する時間tを最小にすることを考える。移動時間tをxの関数として求めると、
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