光ファイバー中の光波の伝搬はマクスウェル方程式により記述することができる。通常は計算を簡略化するために電場の急変動成分を無視して緩変動包絡線の近似が用いられる。パルスの群速度で移動する時間系 (遅延座標系) を用いて、光パルスの包絡線関数 A(z, T) に対する伝搬方程式を表すと以下のようになる。

2.5.14 2.5.19-1

2.5.19-2

この式は非線形シュレディンガー方程式と呼ばれ、光ファイバー中における超短パルスの伝搬を記述するのによく用いられる。γ は非線形係数である。この式において左辺の第 2 項はファイバー損失を、第 3 項は高次分散を含めた波長分散の効果を表している。右辺は全体で自己位相変調や四光波混合、自己急峻化、誘導ラマン散乱などの非線形光学効果を含んでいる。ここで R(t) はラマン応答関数であり、電子遷移と振動遷移 (ラマン) の寄与の両方を含んでいる。図1はラマン利得スペクトルから求めた遅延ラマン応答関数 hR(t)(実験値) である。

chapter2-27

図1:ラマン利得応答関数

 

電子遷移は瞬時的に起こると仮定すると、ラマン応答関数 R(t) は次式のように表すことができる。

2.5.20

ここで、fR は Ra(t) + Rb(t) で表される遅延ラマン応答の寄与の割合を示す。Ra(t) と Rb(t) はそれぞれ、図2の gaと gb に対応するラマン応答関数である。ga と gb は平行ラマン利得 g||を 2つに分解したものである。なお、g/2 は垂直ラマン利得である。

chapter2-28

図2:平行ラマン利得スペクトル

ラマン応答関数 Ra(t) は次式で近似できる。

2.5.21

パラメータ τ1 と τ2 は調節パラメータで、実際のラマン利得スペクトルとよく合う値として τ1 = 12.2fs、τ2 = 32fs、fa = 0.75 という値を用いる。また、ラマン応答関数 Rb(t) は次式で近似できる。

2.5.23

ここで、fb = 0.21、fc = 0.04、τb = 96fs とし、更に fR = 0.245 とおくと、ラマン応答関数 R(t) は周波数 0~15THz の範囲で非常に良い近似を得る。

以上のように、非線形シュレディンガー方程式は高次分散及び高次の非線形光学効果を含んでいる。また、遅延ラマン応答に関してもその効果を正確に取り入れていることから、20~30fs という超短パルスの時間発展も正確に解析することが可能である。ただし、10 fs 以下程度のパルスに対してはこの式を導出するときに用いた緩変動包絡線近似が破綻してしまうため、非線形シュレディンガー方程式を用いることは出来ない。このような超短パルスではマクスウェル方程式を直接数値積分する必要が生じる。

パルス幅が > 50fs 程度のパルスに関しては、非線形シュレディンガー方程式を更に簡便な形に変形することができ

2.5.25

のように表すことができる。非線形シュレディンガー方程式の |A(z, t − t′)|2 をテーラー展開し、t′の 1 次の項までを残すことで

2.5.26

となる。この TR はラマン利得スペクトルの傾きと関連付けられるものであり、その値は~5 fs がよく用いられる。得られたシュレディンガー方程式の右辺の各項は第1項からそれぞれ自己位相変調、自己急峻化、ラマン効果の影響を表している。